Question

如图，在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，已知E，F，G分别为棱AB，AC，A₁C₁的中点，∠ACB=90°，A₁F⊥平面ABC，CH⊥BG，H为垂足．求证：
（1）A₁E∥平面GBC；
（2）BG⊥平面ACH．

Answer

（1）利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理即可得到EF∥BC，A1F∥GC．再利用面面平行的判定定理即可证明平面A1FE∥平面GBC，利用面面平行的性质定理即可证明；
（2）利用线面垂直的性质定理可得GC⊥AC，从而可证AC⊥平面GBC，于是得到AC⊥BG，利用线面垂直的判定定理即可证明．
证明：（1）连接A1E．
∵E，F分别为棱AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵在三棱柱A1B1C1-ABC中，F，G分别为棱AC，A1C1的中点，
∴，
∴四边形A1FCG是平行四边形，
∴A1F∥GC．好
又∵A1F∩FE=F，GC∩CB=C，
∴平面A1FE∥平面GBC，
∴A1E∥平面GBC；
（2））∵A1F⊥平面ABC，A1F∥GC，
∴GC⊥平面ABC，
∴GC⊥AC，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥CB．
又CG∩AC=C，∴AC⊥平面BCG，
∴AC⊥BG，
又∵CH⊥BG，AC∩CH=C．
∴BG⊥平面ACH．