Question

某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R（米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托，，，所在圆的圆心都是O、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h（米），且h＞R；灯脚FA₁，FB₁，FC₁，FD₁是正四棱锥F-A₁B₁C₁D₁的四条侧棱，正方形A₁B₁C₁D₁的外接圆半径为R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米（元），其中R，h，a都为常数．设该灯架的总造价为y（元）．
（1）求y关于θ的函数关系式；
（2）当θ取何值时，y取得最小值？

Answer

（1）由题意把4根灯脚及灯架写成是关于θ的表达式，运用弧长公式把4根灯托也用θ表示，然后乘以各自的造价作和即可得到y关于θ的函数关系式；
（2）对（1）求出的函数式进行求导计算，分析得到当θ=时函数取得极小值，也就是最小值．
【解析】
如图，

（1）延长EF与地面交于O1，由题意知：∠A1FO1=θ，且，
从而EF=h-，，
则，．
（2），
设，
令=
=．
得：1-2cosθ=0，所以．
当θ∈时，f′（θ）＜0．
当θ∈时，f′（θ）＞0．
设，其中，∴．
∴，∴时，y最小．
答：当时，灯架造价取得最小值．