Question

已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，圆x²+y²=4上有一动点P，P在x轴的上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB．
（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S；
（2）设直线PB，DC的斜率存在且分别为k₁，k₂，若k₁=λk₂，求λ的取值范围．

Answer

（1）设D（x，y），利用勾股定理和两点间的距离公式即可关于x，y的方程，与椭圆的方程联立即可解得点D的坐标，利用S△ADC=即可得出；
（2）设P（x，y），得到直线PA的方程，与椭圆的方程联立及利用点P在圆上即可表示出直线PB、DC的斜率，利用k1=λk2，及反比例函数的单调性即可得出．
【解析】
（1）设D（x，y），∵∠ADC=90°，∴AD2+DC2=AC2，
∴（x+2）2+y2+（x-1）2+y2=9，化为x2+y2+x-2=0  ①．
∵点D在椭圆E上，∴  ②．
联立①②得，消去y得3x2+4x-4=0，
又-2＜x＜2，解得．
代入椭圆方程解得．
∴S△ADC==．
（2）设P（x，y），则直线PA的方程为，
代入椭圆的方程得到，
∵，∴，
化为．
此方程有一个实数根-2，设D（x1，y1），则，
代入直线PA的方程得，
∴，=．
∵k1=λk2，∴==，
∵-2＜x＜2，，
∴λ的取值范围为（-∞，0）∪（0，3）．