Question

设数列{a_n}的各项均为正数，其前n项的和为S_n，对于任意正整数m，n，恒成立．
（1）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄及数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₄=a₂（a₁+a₂+1），求证：数列{a_n}成等比数列．

Answer

（1）由给出的递推式分别取m=1，m=2得到两个关系式，两式作比后可以证明数列{1+Sn}是一个等比数列，由等比数列的通项公式得到Sn的表达式，模仿该式再写一个关系式，两式作差后进一步得到一个关于a2和S2的关系式，然后把a1代入即可求得a2的值，在分别取m=1，n=2；m=2，n=1代入原递推式，得到关于a3，a4的方程后可求解a3，a4则数列{an}的通项公式可求；
（2）在（1）的基础上，取m=n=2得关系式，结合m=1，n=2得到的关系式可求出q==2．最后结合题目给出的条件，a4=a2（a1+a2+1）证出数列{an}成等比数列．
解（1）由得．
令m=1，得①
令m=2，得②
②÷①得： （n∈N*）．记，
则数列{1+Sn} （n≥2，n∈N*）是公比为q的等比数列．
∴ （n≥2，n∈N*）③．
n≥3时，④．
③-④得， （n≥3，n∈N*）．
在中，令m=n=1，得．
∴．
则1+S2=2a2，∴a2=1+a1．
∵a1=1，∴a2=2．
在中，令m=1，n=2，得．
则⑤
在中，令m=2，n=1，得
则⑥．
由⑤，⑥，解得a3=4，a4=8．
则q=2，由 （n≥3，n∈N*），
得：
∵a1=1，a2=2也适合上式，∴．
（2）在中，令m=2，n=2，得
则1+S4=2a4，∴1+S3=a4．
在中，令m=1，n=2，得．
则，∴．
则a4=4a2，∴．
代入 （n≥3，n∈N*），
得 （n≥3，n∈N*）．
由条件a4=a2（a1+a2+1），得a1+a2+1=4．
∵a2=a1+1，a1=1，∴a2=2．
则
∵a1=1，a2=2上式也成立，
∴ （n∈N*）．
故数列{an}成等比数列．