Question

（1）山水城市镇江有“三山”--金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望；
（2）某城市有n（n为奇数，n≥3）个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这n个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．

Answer

（1）游客游览景点个数为0，1，2，3，ξ可能取值为：1，3，ξ=1表示游览一个景点或游览两个景点，ξ=3表示游览景点数为0或游览了三个景点，根据n次独立重复试验中事件发生k的概率公式即可求得P（ξ=1），P（ξ=3），进而得到分布列和期望；
（2）当n=2k+1，k∈N*时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，…，2k+1，则ξ可能取值为：1，3，5，…，2k+1．根据独立重复试验中事件A发生k次的概率计算公式求出ξ取各值是的概率，表示出Eξ=（2k+1-0）×2×+[（2k+1-1）-1]×2×+[（2k+1-2）-2]×2×+…+[2k+1-k）-k]×2×，分组后利用性质=n（i=1，2，3，…，n）对上式即可进行化简，最后再换为n即可；
【解析】
（1）游客游览景点个数为0，1，2，3，ξ可能取值为：1，3，
P（ξ=1）=+=2=，
P（ξ=3）=+=2=，
ξ的分布列为：

 所以Eξ=1×+3×=．
（2）当n=2k+1，k∈N*时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，…，2k+1，
ξ可能取值为：1，3，5，…，2k+1．
P（ξ=1）=+=2×；
P（ξ=3）=+=；
…
P（ξ=2k+1）=+=2×，
∴ξ的分布列为：

∴Eξ=（2k+1-0）×2×+[（2k+1-1）-1]×2×+[（2k+1-2）-2]×2×+…+[2k+1-k）-k]×2×
=2×{[（2k+1）+2k+（2k-1）+…+（2k+1-k）]-[（0×+1+2×+…+]}
=2×{[（2k+1）×+2k×+（2k-1）×+…+（k+1）]-[0×+1×+…+]}，
∵=n（i=1，2，3，…，n），
Eξ=2×{（2k+1）×[]-（2k+1）×[]}
=2××（2k+1）×[（）-（+）]
=2××（2k+1）×
=．
答：ξ的数学期望Eξ为．