Question

已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线的焦点，离心率等于．直线l与椭圆Γ交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）椭圆Γ的右焦点是否可以为△BMN的重心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．

Answer

（I）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，结合离心率．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即对于存在性问题，可先假设存在，即假设x轴上存在满足条件的点C（x，0），再利用向量的坐标表示，求出，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（I）设椭圆C的方程为 ，则由题意知b=1．…（2分）
∴．∴a2=5．…（4分）
∴椭圆C的方程为  ．…（5分）
（II）由（I）知，B（0，1），F（1，0）
假设存在直线l，使得F可以为△BMN的重心，
设A（x，y）为MN的中点，
则．，
于是 由得：

从而x=，y=-
∴
这表明点A在椭圆外，这与A为弦的中点矛盾，
∴不存在直线l，使得F为△BMN的重心．