Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数的图象上两点，且，O为坐标原点，已知点M的横坐标为．
（Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）定义定义，其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₁；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S_n，设．若对于任意n∈N^*，不等式ka_n³-3a_n²+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．

Answer

（I）由题设条件知M是AB的中点，由中点坐标公式可以求出M点的给坐标．
（II）根据=，则 以上两式相加后两边再同时除以2就得到Sn，从而求出S2011；
（III）先求出an，代入不等式kan3-3an2+1＞0，要使不等式n3-3n+k＞0对于任意n∈N*恒成立，即使k＞（-n3+3n）max即可求出k的范围．
【解析】
（I）依题意由 知M为线段AB的中点．
又∵M的横坐标为1，A（x1，y1），B（x2，y2）即
∴
即M点的纵坐标为定值 ．
 （II）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2时
∴
两式想加得，2Sn=n-1

∴S2011==1005
（III）．
∴an=                                                                                
若对于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，
∴不等式n3-3n+k＞0对于任意n∈N*恒成立，
即k＞（-n3+3n）max
∴k＞2
即实数k的取值范围为（2，+∞）