Question

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（1）求证：B₁B∥平面D₁AC；
（2）求证：平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁．

Answer

（1）设AC∩BD=E，连接D1E，根据平面ABCD∥平面A1B1C1D1的性质得B1D1∥BE，而B1D1=BE=，则四边形B1D1EB是平行四边形，从而B1B∥D1E，又因B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，根据线面平行的判定定理可知B1B∥平面D1AC；
（2）根据侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，得AC⊥DD1．而下底ABCD是正方形则AC⊥BD，根据DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，则AC⊥平面B1BDD1，AC⊂平面D1AC，根据面面垂直的判定定理可知平面D1AC⊥平面B1BDD1．
证明：（1）设AC∩BD=E，连接D1E，
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1．
∴B1D1∥BE，∵B1D1=BE=，
∴四边形B1D1EB是平行四边形，
所以B1B∥D1E．
又因为B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，
所以B1B∥平面D1AC
（2）证明：侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥DD1．
∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD．
∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，
∴AC⊥平面B1BDD1
∵AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1．