Question

过点P（1，0）作曲线C：y=x²（x∈（0，+∞）的切线，切点为M₁，设M₁在x轴上的投影是点P₁．又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设M₂在x轴上的投影是点P₂，…．依此下去，得到一系列点M₁，M₂…，M_n，…，设它们的横坐标a₁，a₂，…，a_n，…，构成数列为{a_n}．
（1）求证数列{a_n}是等比数列，并求其通项公式；
（2）令，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）要证数列{an}是等比数列，只需证明数列{an}的后一项比前一项是常数即可，可先对y=x2求导数，y=x2在切点处的导数，就是在该点处的切线的斜率，求出切线方程，就可找到切点在x轴上的投影的横坐标，再求相邻横坐标之商，看是否为常数，就可证出数列{an}是等比数列，再根据等比数列的通项公式求数列{an}的通项公式即可．
（2）根据（1）中所求数列{an}的通项公式求出数列{bn}的通项公式，再用错位相减求前n项和Sn
【解析】
（1）对y=x2求导数，得y'=2x，切点是Mn（an，an2）的切线方程是y-an2=2an（x-an）．（2分）
当n=1时，切线过点P（1，0），即0-a12=2a1（1-a1），得a1=2；
当n＞1时，切线过点
所以数列{an}是首项a1=2，公比为2的等比数列．
所以数列{an}的通项公式为an=2n，n∈N*（6分）
（2）∵，an=2n，∴
Sn=+++…+            ①
2Sn=++…++   ②
①-②，得-Sn=+++…+-=-=1--=1-