Question

已知椭圆的两个焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上存在点P，使得成立，则离心率的取值范围为    ．

Answer

设，，的模分别为m，n，2c，椭圆的长轴长为2a，∠F1PF2=θ，把题设中的等式平方求得m2+n2+2mncosθ=4c2，2mncosθ=4c2-m2-n2，进而根据余弦定理求得m2+n2-4c2=0，进而 根据基本不等式求得a和c的不等式关系，进而求得离心率e的范围．
【解析】
设，，的模分别为m，n，2c，椭圆的长轴长为2a，∠F1PF2=θ
则由题中条件可知，（两边平方），
m2+n2+2mncosθ=4c2，2mncosθ=4c2-m2-n2；
又在△F1PF2中，由余弦定理得，
2mncosθ=m2+n2-4c2，
∴m2+n2-4c2=0
4c2=m2+n2≥（m+n）2=2a2，即2c2≥a2
∴（）2≥1/2，离心率e=≥，
又0＜e＜1，
∴≤e＜1．
故答案为：