Question

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，这个函数[x]叫做“取整函数”，那么[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃243]=    ．

Answer

由题意知[log31]+[log32]=0，[log33]+[log34]+…+[log38]=1，[log39]+[log310]+…+[log326]=2…，所以[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log3243]=1×6+2×18+3×54+4×162+5=857．
【解析】
由题意可知：设[log3a]=b
log3a=b+x，a，b为整数
a=3b+x，0≤x＜1，
因为y=3x为单调增函数
当a在[1，2]时
因为3=1，31=3
则0＜b+x＜1
所以b=0时，[log31]+[log32]=0
当a在[3，8]时
同理1＜b+x＜2
b=1时，[log33]+[log34]+…+[log38]=1
b=2时，[log39]+[log310]+…+[log326]=2．
b=3时，[log327]+[log328]+…+[log380]=3．
b=4时，[log381]+[log382]+…+[log3242]=4．
b=5时，[log3243]=5．
∴[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log3243]=1×6+2×18+3×54+4×162+5=857．