Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，D是BC的中点，点P在平面BCC₁B₁内，PB₁=PC₁=
（Ⅰ）求证：PA₁⊥BC；
（Ⅱ）求证：PB₁∥平面AC₁D．

Answer

对于（1），连接PD交B1C1于H，连接BH，容易证明BC⊥AD，而BC⊥AA1已知，则BC⊥平面ADPA1．从而得到BC⊥PA1；
对于（2），要证PB1∥平面AC1D，只需证明PB1平行于平面AC1D内的一条直线即可，连接BH，而容易证明BH∥C1D，只需证明PB1∥BH即可，而PH与PB1平行且相等，问题得证．
证明：（1）连接PD交B1C1于H
∵BC⊥AD，BC⊥AA1，AD∩AA1=A，
∴BC⊥平面ADPA1．
∵PA1⊂平面ADPA1．
∴BC⊥PA1．
（2）连接BH，∵PH∥BB1，且∵PH=BB1，
∴四边形B1PHB为平行四边形．
∴PB1∥BH．而BH∥C1D
∴PB1∥DC1．
又∵PB1⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D．
∴PB1∥平面AC1D．