Question

已知圆C₁：x²+y²-2x-4y+m=0，直线x+2y-4=0与圆C₁相交于M，N两点，以MN为直径作圆C₂
（Ⅰ）求圆C₂的圆心C₂坐标；
（Ⅱ）过原点O的直线l与圆C₁、圆C₂都相切，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）设出圆心的坐标，过圓心C1且与直线x+2y-4=0垂直的直线方程为y=2x，与直线x+2y-4=0联立求得交点即圆心的坐标，根据圆C2的半径求得圆的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2．C1到直线y=kx的距离为d1，C2到y=kx的距离为d2．直线l与圆C1、圆C2都相切可推断出d1=r1，d2=r2．利用勾股定理建立等式求得k，则直线l的方程可得．
【解析】
（Ⅰ）设圆心C2坐标为（x，y）．，
过圓心C1（1，2）且与直线x+2y-4=0垂直的直线方程为y=2x，
∴，解得
又因为圆C2的半径为
∴圆C2的方程为．

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx，圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2．C1到直线y=kx的距离为d1，C2到y=kx的距离为d2．
则d1=r1，d2=r2．
由图形知，r12=r22+C1C22，
∴
∴，
解得：．
∴直线l的方程为．