Question

设F₁，F₂分别为椭圆的左、右两个焦点，若椭圆C上的点两点的距离之和等于4．
（1）求出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过点P（0，）的直线与椭圆交于两点M、N，若OM⊥ON，求直线MN的方程．

Answer

（1）利用椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，可求a，利用点在椭圆上，可求b，从而求出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设直线MN方程为y=kx+，代入椭圆C的方程，利用韦达定理即向量知识，建立方程，即可求得直线MN的方程．
【解析】
（1）椭圆C的焦点在x轴上，
由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，
又点在椭圆上，∴，∴b2=3，∴c2=1，
所以椭圆C的方程为．…（6分）
（2）直线MN不与x轴垂直，设直线MN方程为y=kx+，
代入椭圆C的方程得（3+4k2）x2+12kx-3=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，且△＞0成立．
又=x1x2+y1y2=x1x2+（ kx1+）（kx2+）=--+=0，
∴16k2=5，k=±，
∴MN方程为y=±x+…（14分）