Question

设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=（x＞0），数列{a_n}满足：a₁=，a_n+1=g（a_n）（n∈N）．
（Ⅰ）当x＞-1时，比较x与f（x）的大小；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求证：a₁+a₂+…+a_n＞ln．

Answer

（Ⅰ）构造函数F（x）=x-ln（1+x）利用导数求其最小值，从而判断得到x≥ln（1+x）；
（Ⅱ）通过关系式an+1=g（an）变形得是一等比数列，并求其通项，从而计算出数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅰ）中x≥ln（1+x）知an＞ln（an+1），而ln（an+1）=ln（2n+1）-ln（2n-1+1），然后利用累加法化简即可证明结论．
【解析】
（Ⅰ）当x＞-1时，设F（x）=x-ln（1+x），∴F'（x）=1-=，，令F'（x）=0 有x=0，
当x∈（-1，0），F'（x）＜0，F（x）单调递减；当x∈（0，+∞），F'（x）＞0，F（x）单调递增．
∴F（x）的最小值为F（0）=0∴x≥ln（1+x）；
（Ⅱ）∵，∴，∴，
∴为首项是1、公比为的等比数列．∴=，∴；
（Ⅲ）∵an＞0，由（Ⅰ）知，
∴a1+a2+…+an＞[ln（21+1）-ln（2+1）+…+ln（2n+1）-ln（2n-1+1）]
=，即证．