Question

已知各项均为实数的数列{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，且满足S₄=2S₂+8．
（1）求公差d的值；
（2）若数列{a_n}的首项的平方与其余各项之和不超过10，则这样的数列至多有多少项；
（3）请直接写出满足（2）的项数最多时的一个数列（不需要给出演算步骤）．

Answer

（1）根据S4=2S2+8，利用等差数列的前n项和的公式列出方程，求出公差d即可；
（2）根据a1大于0，小于0，等于0分三种情况，利用公差d=2及枚举法分别得到数列至多有多少项即可；
（3）根据（2）总结的项数最多时的结论，给a1一个实数值，即可到底满足条件的一个数列．
【解析】
（1）根据题意可知：4a1-6d=2（2a1-d）+8，解得d=2；
（2）考虑到d=2，且首项的平方与其余各项之和不超过10，所以可用枚举法研究．
①当a1=0时，02+d+2d=0+2+4≤10，而02+d+2d+3d=0+2+4+6＞10，此时，数列至多3项；
②当a1＞0时，可得数列至多3项；
③当a1＜0时，a12+a1+d+a1+2d+a1+3d≤10，即a12+3a1+2≤0，△=1＞0，此时a1有解．
而a12+a1+d+a1+2d+a1+3d+a1+4d≤10，即a12+4a1+10≤0，△=-24＜0，此时a1无解．
所以a1＜0时，数列至多有4项．
（3）a1=-1时，数列为：-1，1，3，5；或a1=-2时，数列为：-2，0，2，4．