Question

一个口袋中装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（Ⅰ）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；
（Ⅱ）若n=5，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ） 记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？

Answer

（Ⅰ）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是一次摸奖从n+5个球中任选两个，满足条件的事件是两球不同色有Cn1C51种，根据等可能事件的概率得到结果．
（Ⅱ）本题是一个等可能事件的概率，若n=5，一次摸奖中奖的概率，三次摸奖是独立重复试验，然后利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式进行求解即可；
（III）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率为P为P=P3（1）=C31•p•（1-p）2=3p3-6p2+3p，当p= 时，P取得最大值．得到n的值．
【解析】
（Ⅰ）一次摸奖从n+5个球中任选两个，有Cn+52种，它们等可能，其中两球不同色有Cn1C51种，一次摸奖中奖的概率．
（Ⅱ）若n=5，一次摸奖中奖的概率，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是．
（Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P=P3（1）=C31•p•（1-p）2=3p3-6p2+3p，0＜p＜1，P'=9p2-12p+3=3（p-1）（3p-1），知在上P为增函数，在上P为减函数，当时P取得最大值．又，解得n=20．
答：当n=20时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．