Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面边长为8，对角线B₁C=10，
（1）若D为AC的中点，求证：AB₁∥平面C₁BD；
（2）若CD=2AD，BP=λPB₁，当λ为何值时，AP∥平面C₁BD；
（3）在（1）的条件下，求直线AB₁到平面C₁BD的距离．

Answer

（1）连接B1C，设B1C与BC1交于点E，连接DE，则E为B1C中点，利用DE是△CAB1的中位线证出DE∥AB1．
（2）λ=1时，AP∥平面C1BD．连接PC，设PC与BC1交于点F，连接DF．利用CF：FP=CD：AD=2：1．
得出DF∥AP，从而AP∥平面C1BD．
（3）将直线AB1到平面C1BD的距离转化为点A到平面C1BD的距离．利用等体积法求出距离即可．
【解析】
（1）连接B1C，设B1C与BC1交于点E，连接DE，
则E为B1C中点，又D为AC的中点，
∴DE是△CAB1的中位线，
∴DE∥AB1，
又DE⊂平面BDC1，AB1⊄平面C1BD，
∴AB1∥平面C1BD．
（2）λ=1时，AP∥平面C1BD；
证明如下：连接PC，设PC与BC1交于点F，连接DF．
当λ=1时，P为B1B中点，C1C：PB=CF：FP=2：1，
又CD=2AD，∴CF：FP=CD：AD=2：1．
∴DF∥AP，
又DF⊂平面BDC1，AP⊄平面C1BD，
∴AP∥平面C1BD．
（3）由（1）当D为AC的中点时，AB1∥平面C1BD；
∴点A到平面C1BD的距离等于直线AB1到平面C1BD的距离，记为h．
正三棱柱的高C1C===6．
由正三棱柱性质可知面CC1⊥面ABC，BD⊂面ABC，∴CC1⊥BD．
又在正三角形ABC中，D为AB中点，∴AC⊥BD，
∵AC∩CC1=C，∴，BD⊥面A1ACC1，DC1⊂面A1ACC1，∴BD⊥DC1，
∴△BDC1 是直角三角形．
∵S△ABD=AD×BD=AD×=×4×=8．
C1D===2．
∴S△BDC1=BD×C1D=×4×2=4．
∵VA-C1BD=VC1-ABD．
∴S△BDC1=×h=S△ABD=×C1C
代入数据，得出×4×h=×8．×6
h=．
∴直线AB1到平面C1BD的距离为．