Question

已知实系数二次函数f（x）=ax²+bx+c对任何-1≤x≤1，都有|f（x）|≤1．
（1）若f（x）=2x²-1，g′（x）=f（x），且g（0）=0，数列{a_n}满足a_n=g（a_n-1），问数列{a_n}能否构成等差数列，若能，请求出满足条件的所有等差数列；若不能，请说明理由；
（2）求|a|+|b|+|c|的最大值．

Answer

（1）设g（x）=dx3+ex2+hx+k，则g′（x）=3dx2+2ex+h=2x2-1，所以，由g（0）=0，知，．由此能求出求出满足条件的所有等差数列．
（2）f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，三者都属于[-1，1]，设w=|a|+|b|+|c|，不妨设a＞0，再进行分类讨论能求出|a|+|b|+|c|的最大值．
【解析】
（1）设g（x）=dx3+ex2+hx+k，
则g′（x）=3dx2+2ex+h=2x2-1，
∴3d=2，2e=0，h=-1，
∴，
又g（0）=0，
∴k=0，
∴，
若数列{an}构成等差数列，
可设an=un+v，u，v为常数，
∵an=g（an-1），
∴an+1=g（an），
∴v+（*），
当u=0时，（*）简化为，
由此解得：，
所以数列{an}能构成等差数列：
①0，0，0，…；②，…；③．（4分）
（2）f（0）=c，
f（1）=a+b+c，
f（-1）=a-b+c，
三者都属于[-1，1]，
设w=|a|+|b|+|c|，不妨设a＞0，
①b，c≥0时，w=a+b+c=f（1）＜=1；
②b，c＜0时，w=a-b-c=f（-1）-2f（0）≤3；
③b≥0＞c时，w=a+b-c=f（1）-2f（0）≤3；
④c≥0＞b时，w=a-b+c=f（-1）≤1．
当a=2，b=0，c=-1时f（x）=2x22-1满足题设，w=3．
∴所求最大值为3．