Question

设数列{a_n}具有以下性质：①a₁=1；②当n∈N^*时，a_n≤a_n+1．
（Ⅰ）请给出一个具有这种性质的数列，使得不等式对于任意的n∈N^*都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；
（Ⅱ）若，其中n∈N^*，且记数列{b_n}的前n项和B_n，证明：0≤B_n＜2．

Answer

（I）令，则无穷数列{an}可由a1=1，an+1=3n-1an2（n≥1）给出，显然，该数列满足a1=1，an≤an+1（n∈N*），利用等比数列求和也满足条件；
（II）根据an≤an+1可得，∴bn≥0，则Bn=b1+b2+…+bn≥0，将转化成
，然后叠加可得结论．
（Ⅰ）【解析】
令，
则无穷数列{an}可由a1=1，an+1=3n-1an2（n≥1）给出．
显然，该数列满足a1=1，an≤an+1（n∈N*），
且------------------（6分）
（Ⅱ）证明∵，∴bn≥0．
∴Bn=b1+b2+…+bn≥0．-------------------------（8分）
又
=
=．
∴．
∴0≤Bn＜2．--------------------------------（14分）