Question

设函数f（x）=x+x³，若对于任意的实数a和b，有f（a）+f（b）＞0，则一定有（ ）
A．a-b＞0
B．a-b＜0
C．a+b＞0
D．a+b＜0

Answer

根据题意，判断可得f（x）为奇函数，且为增函数，对于f（a）+f（b）＞0，变形可得f（a）＞-f（b），结合函数的单调性与奇偶性，可得a＞-b，即a+b＞0，即可得答案．
【解析】
根据题意，f（x）的定义域为全体实数，且f（-x）=-x-x3=-f（x），
则f（x）为奇函数，
又由f'（x）=1+3x2，易得f'（x）＞0恒成立，
则f（x）为增函数，
若f（a）+f（b）＞0，则f（a）＞-f（b），
又由f（x）为奇函数，则f（a）＞f（-b），
函数为增函数，则a＞-b，即a+b＞0，
故选C．