Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）求证：AB⊥BC₁；
（2）求二面角C₁-AB-C的大小；
（3）在AB上是否存在点D，使得AC₁∥平面CDB₁，若存在，试给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据AC，BC，CC1两两垂直，建立如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz，写出要用的点的坐标，根据两个向量的数量级等于0，证出两条线段垂直．
（2）根据所给的两个平面的法向量一个可以直接看出另一个设出根据数量级等于0，求出结果，根据两个平面的法向量所成的角求出两个平面所成的角．
（3）存在点D使AC1∥平面CDB1，且D为AB中点，设BC1与CB1交于点O，则O为BC1中点．在△ABC1中，连接OD，D，O分别为AB，BC1的中点，故OD为△ABC1的中位线，根据线线平行得到线面平行．
解∵直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC，BC，CC1两两垂直．
如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）． …（2分）
（1）∵，
∴，故AC⊥BC1…（4分）
（2）平面ABC的一个法向量为m=（0，0，1），
设平面C1AB的一个法向量为n=（xyz），，
由…（6分）
令x=4，则z=3，y=3则n=（4，3，3）．…（7分）
故．所求二面角的大小为  ．…（8分）
（3）存在点D使AC1∥平面CDB1，且D为AB中点，下面给出证明．…（9分）
设BC1与CB1交于点O，则O为BC1中点．
在△ABC1中，连接OD，D，O分别为AB，BC1的中点，故OD为△ABC1的中位线，…（10分）
∴OD∥AC1，又AC1⊄平面CDB1，OD⊂平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．  …（12分）
故存在点D为AB中点，使AC1∥平面CDB1．