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在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的...

在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是    (写出所有正确命题的编号).
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点
③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线.
①举一例子即可说明本命题是真命题; ②举一反例即可说明本命题是假命题; ③假设直线l过两个不同的整点,设直线l为y=kx,把两整点的坐标代入直线l的方程,两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上,利用同样的方法,得到直线l经过无穷多个整点,得到本命题为真命题; ④根据③为真命题,把直线l的解析式y=kx上下平移即不能得到y=kx+b,所以本命题为假命题; ⑤举一例子即可得到本命题为真命题. 【解析】 ①令y=x+,既不与坐标轴平行又不经过任何整点,所以本命题正确; ②若k=,b=,则直线y=x+经过(-1,0),所以本命题错误; 设y=kx为过原点的直线,若此直线l过不同的整点(x1,y1)和(x2,y2), 把两点代入直线l方程得:y1=kx1,y2=kx2, 两式相减得:y1-y2=k(x1-x2), 则(x1-x2,y1-y2)也在直线y=kx上且为整点, 通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点, 又通过上下平移得到y=kx+b不一定成立.则③正确,④不正确; ⑤令直线y=x恰经过整点(0,0),所以本命题正确. 综上,命题正确的序号有:①③⑤. 故答案为:①③⑤
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考点分析:
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