Question

设数列{a_n}的前n项积为T_n，T_n=1-a_n；数列{b_n}的前n项和为S_n，S_n=1-b_n
（1）设．证明数列{c_n}成等差数列；求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n（nb_n+n-2）≤kn对n∈N⁺恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）首先利用数列{an}的前n项积Tn与通项之间的关系分类讨论写出相邻项满足的关系式，然后两式作商即可获得1-an+anan-1=an，再利用cn=，利用作差法即可获得数列{cn}为等差数列．由此可以求的数列{cn}的通项公式，进而求得Tn然后求得数列{an}的通项公式；
（2）充分利用（1）的结论将“Tn（nbn+n-2）≤kn对n∈N+恒成立”转化为：k≥对任意的n∈N*恒成立．然后通过研究函数的单调性即可获得问题的解答．
【解析】
（1）由Tn=1-an得：Tn=（n≥2）∴Tn•Tn-1=Tn-1-Tn
∴=1即cn-cn-1=1
又T1=1-a1=a1∴a1==2
∴数列cn是以2为首项，1为公差的等差数列．
∴cn=c1+n-1=2+n-1=n+1
∴Tn=
（2）由（1）知：Tn=，
又∵Sn=1-bn
所以，当n=1时，b1=1-b1，∴b1=．
当n≥2时，Sn=1-bn，Sn-1=1-bn-1
∴bn=bn-1-bn，
∴2bn=bn-1．
∴{bn}为以为首项，以为公比的等比数列．
∴bn=，
∴对任意的n∈N*恒成立．
∴k≥对任意的n∈N*恒成立．
∴k≥对任意的n∈N*恒成立．
令f（n）=，则f（n+1）=
∵＞0
∴f（n）＞f（n+1），∴任意的n∈N*时，f（n）为单调递减函数．
令g（n）=，则：g（n+1）=
∴g（n+1）-g（n）=
∴当1≤n＜4时，g（n）为单调递增函数，且g（4）=g（5），
当n≥5时，g（n）为单调递减函数．
设L（n）=f（n）+g（n）
则：L（1）＜L（2）＜L（3），L（3）＞L（4）＞L（5）＞L（6）＞…
∴L（3）最大，且L（3）=，
∴实数k的取值范围为．