Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是梯形BC∥AD，∠DAB=90°，AB=BB₁=4，BC=3，AD=5，AE=3，F、G分别为CD、C₁D₁的中点．
（1）求证：EF⊥平面BB₁G；
（2）求二面角E-BB₁-G的大小．

Answer

（1），要证明线面垂直，根据判定定理，需要证明直线垂直于EF平面BB1G内的两条相交直线，由直四棱柱的性质容易证明EF⊥BB1，所以只需证明EF⊥BF，二者在同一个平面内，故只需连接BF并延长与AD的延长线交于点H，通过三角形全等证明EF⊥BF即可．
（2），求二面角的思路有两条，一：作、证、指、求，作出二面角的平面角，再去利用解三角形的方法，或者建立空间直角坐标系，利用向量的夹角来解决．
【解析】
（1）连接FG∵F、G分别为CD、C1D1的中点，
∴FG∥CC1且相等， ;；；从而FG∥BB1 且相等
 ;；；∴B、B1、F、G四点共面．
连接BF并延长与AD的延长线交于点H．
∵F为CD的中点，且BC∥AD．
∴△HFD≌△BFC∴DH=BC=3
∴EH=DE+DH=5．又∵BE=5，且F为BH的中点．
∴EF⊥BF，又∵BB1⊥平面ABCD，且EF⊂平面ABCD内．
∴BB1⊥EF∴EF⊥平面BB1GF．从而EF⊥平面BB1G．

（2）二面角E-BB1-G的大小等于二面角F-BB1-E的大小
∵EF⊥平面FBB1且EB⊥BB1FB⊥BB1
即∠EBF为二面角F-BB1-E的平面角
在△EFB中，EB=5，EF=．∴
∴∠EBF=∴二面角E-BB1-G的大小为

解法2：以A为坐标原点，AB为x轴，AA1为y轴，AD为Z轴建立空间直角坐标系，
则E（0，0，3）、F（2，0，4）、G（2，4，4）、B（4，0，0）、B1（4，4，0）
（1）、、
∵，
∴EF⊥BB1，EF⊥B1G∴EF⊥平面BB1G
（2）∵EF⊥平面BB1G∴为平面BB1G的一个法向量
设平面EBB1的一个法向量为
则解得y=0，取z=4
∴
∴二面角E-BB1-G的大小为