Question

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，G是线段EF的中点，且B点在平面AGC内的射影在CG上．
（Ⅰ）求证：AG⊥平面BGC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-G的大小．

Answer

（Ⅰ）设B点在平面AGC内的射影为H，则H在CG上，由BH⊥平面AGC，知BH⊥AG，BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，则BC⊥平面ABEF，又AG⊂平面ABEF，BC⊥AG，又BH、BC⊂平面BGC，根据线面垂直的判定定理可知AG⊥平面BGC；
（Ⅱ）过G作GM⊥AB于M，过M作MN⊥AC于N，连NG，根据平面ABCD⊥平面ABEF，GM⊥AB，则GM⊥平面ABCD，又MN⊥AC，所以NG⊥AC，
从而∠GNM就是二面角B-AC-G的平面角，在平面ABEF内，由ABEF是矩形，G是EF的中点，GM⊥AB，可得M是AB的中点，AG⊥平面BGC，则AG⊥GB，AB=2GM=2AF，设AF=a，则AB=2a，又，可求出tan∠GNM，从而得到结论．
【解析】
（Ⅰ）设B点在平面AGC内的射影为H，则H在CG上，由BH⊥平面AGC，知BH⊥AG，∵ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，
∴BC⊥平面ABEF，又AG⊂平面ABEF，
∴BC⊥AG，又BH、BC⊂平面BGC，
∴AG⊥平面BGC；
（Ⅱ）过G作GM⊥AB于M，过M作MN⊥AC于N，连NG，
∵平面ABCD⊥平面ABEF，GM⊥AB，∴GM⊥平面ABCD，又MN⊥AC，
∴NG⊥AC，
∴∠GNM就是二面角B-AC-G的平面角，在平面ABEF内，由ABEF是矩形，G是EF的中点，GM⊥AB，可得M是AB的中点，
又∵AG⊥平面BGC，∴AG⊥GB，
∴AB=2GM=2AF，设AF=a，则AB=2a，又，
∴tan∠GNM=，∴，
∴二面角B-AC-G的大小为arctan．