Question

数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_n=log₂b_n+3，求证数列{a_n}是等差数列；
（Ⅲ）若a₁+a₂+a₃+…+a_m≤a₄₀，求m的最大值．

Answer

（Ⅰ）由题设知b1，b3是方程x2-5x+4=0的两根，bn+1＞bn，故b1=1，b3=4．b2=2．由此可知bn=b1qn-1=2n-1．
（Ⅱ）由题设知an=log2bn+3=log22n-1+3=n-1+3=n+2，an+1-an=[（n+1）+2]-[n+2]=1，故数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列．
（Ⅲ）由题设知a1+a2+a3+…+am==≤a40=42，故m2+5m-84≤0，由此可知m的最大值是7．
【解析】
（Ⅰ）由，知b1，b3是方程x2-5x+4=0的两根，
注意到bn+1＞bn，得b1=1，b3=4．（2分）
∴b22=b1b3=4，⇒b2=2．
∴b1=1，b2=2，b3=4
∴等比数列．{bn}的公比为，
∴bn=b1qn-1=2n-1（4分）
（Ⅱ）an=log2bn+3=log22n-1+3=n-1+3=n+2（5分）
∴an+1-an=[（n+1）+2]-[n+2]=1（7分）
∴数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列
∴a1+a2+a3++am==（10分）
又a40=42
由a1+a2+a3++am≤a40，得
整理得m2+5m-84≤0，解得-12≤m≤7．
∴m的最大值是7．（12分）