Question

如图所示，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）过D点且与AB不垂直的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，问是否存在这样的直线l使与平行，若平行，求出直线l的方程，若不平行，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）先以AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，利用曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变可得曲线C为以O为中心，以A，B为焦点的椭圆，再求出对应的a，b，c即可．
（Ⅱ）先把直线直线l的方程与椭圆方程联立，求出点M、N的坐标和斜率的关系以及斜率的取值范围，再利用与平行，求出对应的斜率看是否符合要求即可．
【解析】
（Ⅰ）以AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系．（1分）
∴曲线C为以O为中心，以A，B为焦点的椭圆，（3分）
设长半轴长为a，短半轴长b，半焦距为c
∴所以所求椭圆C的方程为（5分）
（Ⅱ）设存在这样的直线l使与平行，设直线l方程为y=kx+2
消去Y，整理得（5k2+1）x2+20kx+15=0，（7分）
设M（x1，y1），N（x2，y2）△=（20k）2-4（5k2+1）×15=20（5k2-3）＞0⇒．
，（9分）
，=（2，1）
∵与平行
∴=∴（11分）
∴与矛盾
所以不存在这样的直线l使与平行（12分）