Question

凸四边形ABCD中，，，，，，则∠BAD的大小为（ ）
A．45°
B．75°
C．105°
D．135°

Answer

根据题意画出图形，根据两对向量垂直得到∠ADC与∠ABC都为90°，从而得到A，B，C，D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BDC，在直角三角形ABC中，由边AB及BC的长，利用勾股定理求出边AC的长，根据直角三角形中，一直角边等于斜边的一半可得这条边所对的角为30°，得到∠BAC=∠BDC=30°，在三角形DCB中，由BD及BC的长，利用余弦定理求出DC的长，由两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sin15°的值，然后在直角三角形ADC中，根据锐角三角函数的定义得出DC比AC得比值等于sin15°的值，从而得到∠DAC为15°，由∠DAC+∠BAC即可求出∠DAB的度数．
【解析】
根据题意画出图形，如图所示：

由，，得到∠ADC=∠ABC=90°，
∴A，B，C，D四点共圆，∴∠BAC=∠BDC，
连接AC，在Rt△ABC中，|AB|=，|BC|=1，
根据勾股定理得：|AC|=2，
∴∠BAC=30°，
∴∠BDC=30°，
在△BDC中，|BD|=，|BC|=1，
根据余弦定理得：|BC|2=|BD|2+|DC|2-2|BD||DC|cos30°，
即1=2+|DC|2-|DC|，
解得：|DC|=（大于斜边2，舍去）或|DC|=，
则sin∠DAC==，
∵sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=，
∴∠DAC=15°或∠DAC=165°（舍去），
则∠DAB=∠CAB+∠DAC=45°．
故选A