Question

直线L：y=k（x+3）与圆O：x²+y²=4交于A、B两点，则当△AOB的面积最大时，k=    ．

Answer

由圆的方程找出圆心O坐标和半径r，同时把直线l的方程整理为一般式方程，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线l的距离d，即为圆O中弦AB的弦心距，根据垂径定理得到垂足为弦AB的中点，由圆的半径，弦心距及弦的一半构成的直角三角形，利用勾股定理表示出弦AB的长度，然后利用三角形的面积公式底乘以高除以2，用含有d的式子表示出三角形ABC的面积，并利用基本不等式≤求出面积的最大值，以及面积取得最大值时d的值，从而列出关于k的方程，求出方程的解即可得到面积最大时k的值．
【解析】
由圆O：x2+y2=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
把直线l的方程为y=k（x+3），整理为一般式方程得：kx-y+3k=0，
∴圆心O（0，0）到直线AB的距离d=，（9分）
弦AB的长度|AB|=2=2，
∴，（11分）
当且仅当d2=2时取等号，S△ABC取得最大值，最大值为2，
此时，解得k=．
故答案为：