Question

某大型工厂的车床有甲，乙，丙三个型号，分别占总数的，，，现在有三名工人各自独立选一台车床操作．
（I）求他们选择的车床类型互不相同的概率；
（II）设ξ为他们选择甲型或丙型车床的人数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer

（1）记第i名工人选择甲，乙，丙型车床分别为事件Ai，Bi，Ci，i=1，2，3．由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立Ai，Bj，Bk（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，，由此能求出他们选择的车床类型互不相同的概率为P=3!P（A1B2C3）．
（2）法一：设3名工人中选择乙型车床的人数为η，则η～，且ξ=3-η．由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望．法二：设第i名工人选择甲或丙型车床记为事件Di（i=1，2，3），则D1，D2，D3相互独立，且．所以ξ～B（3，），由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望．
【解析】
（1）记第i名工人选择甲，乙，丙型车床分别为事件Ai，Bi，Ci，i=1，2，3．
由题意知A1，A2，A3相互独立，
B1，B2，B3相互独立，
C1，C2，C3相互独立
Ai，Bj，Bk（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，
且，
他们选择的车床类型互不相同的概率为
P=3!P（A1B2C3）
=6×=．
（2）解法一：设3名工人中选择乙型车床的人数为η，
则η～，
且ξ=3-η．
所以P（ξ=k）=P（η=3-k）=．
故ξ的分布列为

 ξ  0  1 2  2
 P        

所以，ξ的数学期望为Eξ=3-Eη=3-3×=2．
解法二：设第i名工人选择甲或丙型车床记为事件Di（i=1，2，3），
则D1，D2，D3相互独立，
且．
所以ξ～B（3，），
即．
故ξ的分布列为

 ξ  0  1 2  2
 P        

所以，ξ的数学期望为Eξ=3×=2．