Question

在数列{a_n} 中，a₁=0，a_n+1=-a_n+3ⁿ，其中n=1，2，3…．
（I）求数列{a_n}  的通项公式；
（II）求的最大值．

Answer

（I）因为从数列{an}的递推公式 中，不容易找到规律，可考虑用构造法构造新函数，观察可得，an+1-=-（an-），所以）数列{an-}为等比数列，先求出它的通项公式，继而求数列{an}  的通项公式．
（II）由（I）得到的数列{an}  的通项公式，可以代入，化简，再根据单调性求极值．
【解析】
（I）由a1=0，且an+1=-an+3n（n=1，2，3，…）
得a2=-a1+3=3，a3=-a2+32=6．       
（由an+1=-an+3n，变形得an+1-=-（an-），∴{an-}
是首项为a1-=-公比为-1的等比数列
∴an-=-（-1）n-1∴an=（n=1，2，3…）     
（II）①当n是偶数时，===+，
∴随n增大而减少，∴当n为偶数时，最大值是．            
②当n是奇数时，===
∴随n增大而增大且=＜＜
综上最大值为．