(I)已知中函数f(x)的解析式,可求出F(x)=f(x)-kx的解析式,进而求出其导函数的解析式,分别讨论当x≥2,方程=0的解,也当x<2时,方程=0的解,进而可对k进行分类讨论得到函数F(x)的单调性;
(II)由(I)中结论,可得当0<k<时,函数的单调性,及对应的极值点,分别判断极大值与极小值的符号,进而可判断出F(x)=0有三个不同的实根.
【解析】
(Ⅰ)∵f(x)=,F(x)=f(x)-kx.
∴F(x)=
∴F′(x)= …(2分)
∴当x≥2,方程=0在k<0或k≥1时,无解,在0<k<1时为x=+1,
当x<2时,方程=0在k≥0时,无解,在k<0时为x=2-.
∴当0<k<1时,函数F(x)在(-∞,2)上递减,在(2,+1)上递增,在(+1,+∞)上递减;
当k≥1时,函数F(x)在(-∞,+∞)上是减函数;
当k<0时,函数F(x)在(-∞,2-)上递增,在(2-,2)上递减,在(2,+∞)上递增. …(7分)
证明(Ⅱ)∵0<k<,由(Ⅰ)可知,F(x)的取值随着x的变化如下:
∴当x=2时,F(x)极小值为-2k,
当x=+1,F(x)极大值为ln-k-1,…(10分)
∵0<k<,
∴ln-k-1>--1=->0,
∴F(x)极小值-2k<0,F(x)极大值为ln-k-1>0,
因此,0<k<时,方程F(x)=0一定有三个不同的实根.…(12分)