Question

（1+x）n=C_n+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxn（x∈N*）（1+x）n=C，上式两边对x求导后令x=1，可得结论：C_n¹+2C_n²+…+rC_n^r+nC_nⁿ=n•2^n-1，利用上述解题思路，可得到许多结论．试问：C_n+2C_n¹+3C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+（n+1）C_nⁿ=    ．

Answer

先设t=Cn+2Cn1+3Cn2+…+（r+1）Cnr+…+（n+1）Cnn再由Cnm=Cnn-m这个性质，将t转化为t=（n+1）Cn+nCn1+（n-1）Cn2+…+（r+1）Cnr+…+Cnn②，两式相加求解．
【解析】
设t=Cn+2Cn1+3Cn2+…+（r+1）Cnr+…+（n+1）Cnn…①
Cnm=Cnn-m
t=（n+1）Cn+nCn1+（n-1）Cn2+…+（r+1）Cnr+…+Cnn…②
由①②相加得：
2t=（n+2）（Cn+Cn1+Cn2+…+Cnr+…+Cnn）=（n+2）2n
∴t=（n+2）2n-1
故答案为：（n+2）2n-1