Question

已知函数，其中n∈N*，a为常数．
（Ⅰ）当n=2时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a=1时，若b₁，b₂，…，b_k均非负数，且b₁+b₂+…+b_k=1，求证：f（b₁）+f（b₂）+…+f（b_k）≤k+1．

Answer

（I）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，最后求出极值；
（II）欲证f（b1）+f（b2）+…+f（bk）≤k+1．先利用导数证当x≥0时，f（x）≤x+1，再结合b1，b2，…，bk均非负数，且b1+b2+…+bk=1，即得．
【解析】
（Ⅰ）由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞-1}，
当n=2时，，
所以
（1）当a＞0时，由f′（x）=0得＞-1，＜-1，
此时f′（x）=．
当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）无极值．
综上所述，n=2时，
当a＞0时，f（x）在处取得极小值，极小值为
当a≤0时，f（x）无极值．
（Ⅱ）先证明当x≥0时，f（x）≤x+1，只要设，
∴g（x）在[0，+∞）是增函数，
∴g（x）≥g（0）=0，得证；
而b1，b2，…，bk均非负数，且b1+b2+…+bk=1，所以f（b1）+f（b2）+…+f（bk）≤k+1．