Question

已知函数f（x）=2^x+1的反函数是f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）
（1）用定义证明f^-1（x）在定义域上的单调性；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值集合D．

Answer

（1）先求出反函数的解析式及定义域，在定义域内任取两个自变量 m＞n＞1，化简f-1（m）-f-1（n）的结果，把此结果和0作对比，依据单调性的定义做出判断．
（2）把解析式代入不等式，利用对数函数的单调性和定义域解此不等式．
【解析】
（1）∵函数f（x）=2x+1，∴x=log2（f（x）-1），∴f-1（x）=log2（x-1） （x＞1），
设 m＞n＞1，f-1（m）-f-1（n）=，
∵m-1＞n-1＞0，∴＞1，
∴＞0，
∴f-1（m）-f-1（n）＞0，f-1（m）＞f-1（n），
 f-1（x）在其定义域（1，+∞）内是增函数．

（2）∵f-1（x）≤g（x），
∴log2（x-1）≤log4（3x+1），
≤log4（3x+1），
∴，1＜x≤5，
∴x的取值集合D=（1，5]．