Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是（-，0），（，0），则PC•PD的最大值为（ ）
A．4
B．2
C．3
D．2+2

Answer

利用正方形的面积求出椭圆的焦距、长轴长；利用椭圆的大定义求出P到两焦点的距离，代入PC•PD转化成二次函数最值，利用二次函数求出最值．
【解析】
设左右焦点为F1、F2，上顶点为A，正方形边长=2，
∴|AF1|=|AF2|=2，|F1F2|=，
c=，
则C、D是椭圆的左右焦点，C是F1，D是F2，
根据椭圆定义，|AF1|+|AF2|=2+2=4=2a，
a是长半轴长，
a=2，
|PF1|+|PF2|=2a=4，
|PF1|•|PF2|=|PF1|•（4-|PF1|），
设|PF1|=x，
|PC|•|PD|=x（4-x）=-x2+4x═-（x-2）2+4
当x=2时．其乘积最大值为4．
当P在短轴顶点时，最大．