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已知函数f(x)=ax3+bx2+(b-a)x(a,b不同时为零的常数),导函数...

已知函数f(x)=ax3+bx2+(b-a)x(a,b不同时为零的常数),导函数为f′(x).
(1)当manfen5.com 满分网时,若存在x∈[-3,-1]使得f′(x)>0成立,求b的取值范围;
(2)求证:函数y=f′(x)在(-1,0)内至少有一个零点;
(3)若函数f(x)为奇函数,且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0,关于x的方程manfen5.com 满分网在[-1,t](t>-1)上有且只有一个实数根,求实数t的取值范围.
(1)当时,f′(x)==,由二次函数的性质,分类讨论可得答案; (2)因为f′(x)=3ax2+2bx+(b-a),所以f′(0)=b-a,f'(-1)=2a-b,.再由a,b不同时为零,所以,故结论成立; (3)将“关于x的方程在[-1,t](t>-1)上有且只有一个实数根”转化为“函数f(x)与的交点”问题解决,先求函数f(x)因为f(x)=ax3+bx2+(b-a)x为奇函数,可解得b=0,所以f(x)=ax3-ax,再由“f(x)在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0”解得a,从而得到f(x),再求导,由,知f(x上是増函数,在上是减函数,明确函数的变化规律,再研究两个函数的相对位置求解. 【解析】 (1)当时,f′(x)==, 其对称轴为直线x=-b,当,解得, 当,b无解, 所以b的取值范围为;(4分) (2)因为f′(x)=3ax2+2bx+(b-a), ∴f′(0)=b-a,f'(-1)=2a-b,. 由于a,b不同时为零,所以,故结论成立. (3)因为f(x)=ax3+bx2+(b-a)x为奇函数,所以b=0,所以f(x)=ax3-ax, 又f(x)在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0. 所以a=1,即f(x)=x3-x.因为 所以f(x)在上是増函数, 在上是减函数,由f(x)=0解得x=±1,x=0, 如图所示,当时,,即,解得; 当时,,解得;当t=0时,显然不成立; 当时,,即,解得; 当时,,故. 所以所求t的取值范围是或.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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