Question

如图，已知抛物线M：x²=4py（p＞0）的准线为l，N为l上的一个动点，过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A，B，再分别过A，B两点作l的垂线，垂足分别为C，D．
（1）求证：直线AB必经过y轴上的一个定点Q，并写出点Q的坐标；
（2）若△ACN，△BDN，△ANB的面积依次构成等差数列，求此时点N的坐标．

Answer

（1）因为抛物线的准线l的方程为y=-p，所以可设点N，A，B的坐标分别为（m，-p），（x1，y1），（x2，y2），由题设条件知x12-2mx1-4p2=0，x22-2mx2-4p2=0，所以x1和x2是关于x的方程x2-2mx-4p2=0两个实数根，所以，由此可知直线AB必经过y轴上的一个定点Q（0，p），即抛物线的焦点．
（2）由（1）知x1+x2=2m，所以N为线段CD的中点，取线段AB的中点E，因为Q是抛物线的焦点，所以AQ=AC，BQ=BD，所以AC+BD=AB，
所以S△ANB=S△ANE+S△BNE==，又因为，，所以，，成等差数列，即AQ，BQ，AB成等差数列，由此入手可求出点N的坐标．
【解析】
（1）因为抛物线的准线l的方程为y=-p，所以可设点N，A，B的坐标分别为（m，-p），（x1，y1），（x2，y2），则x12=4py1，x22=4py2，由x2=4py，得，求导数得，于是，即，
化简得x12-2mx1-4p2=0，
同理可得x22-2mx2-4p2=0，
所以x1和x2是关于x的方程x2-2mx-4p2=0
两个实数根，所以，且x1x2=-4p2．
在直线AB的方程中，
令x=0，
得═为定值，
所以直线AB必经过y轴上的一个定点Q（0，p），即抛物线的焦点．（5分）
（2）由（1）知x1+x2=2m，所以N为线段CD的中点，取线段AB的中点E，
因为Q是抛物线的焦点，所以AQ=AC，BQ=BD，所以AC+BD=AB，
所以S△ANB=S△ANE+S△BNE==，
又因为，，
所以，，成等差数列，即AQ，BQ，AB成等差数列，
即0-x1，x2-0，x2-x1成等差数列，所以x2-2x1=2x2，x2=-2x1，
所以，，时，，，时，，，所以所求点N的坐标为．

（10分）