Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，
（Ⅰ）证明：数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=na_n-n²-n，求数列{b_n}的前n项和S_n；

Answer

（Ⅰ）把题设整理成an+1-（n+1）=4（an-n）的样式进而可知为常数，判定数列{an-n}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的首项和公比可求得{an-n}的通项公式，进而根据题设求得数列{bn}的通项公式，进而根据错位相减法求得数列{bn}的前n项和Sn．
（Ⅰ）证明：由题设an+1=4an-3n+1，
得an+1-（n+1）=4（an-n），n∈N+
又a1-1=1≠0∴
∴数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列
（Ⅱ）【解析】
由（1）可知an-n=4n-1
而bn=n（an-n）-n=n•4n-1-n
∴Sn=1•4+2•41+3•42+n•4n-1-（1+2+3+n）Tn
=1•4+2•41+3•42+n•4n-1①
4Tn=1•41+2•42+3•43+（n-1）•4n-1+n•4n②
由①-②得：-3Tn=1+4+42+4n-1-n•4n=
∴
=