Question

（几何证明选讲选选做题）如图，AC是⊙O的直径，B是⊙O上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于．D已知BC=1，AB=，则AD=    ；过B、D分别作⊙O的切线，则这两条切线的夹角θ=    ．

Answer

由题意可得∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，由BC=1，AB=可知∠C=60°，∠BAC=30°，由圆周角定理可知∠C=∠ADB=60°，△ABD中，由正弦定理可求AD
由∠BAD=30°+45°=75°可得∠BOD=2∠BAD=150°，由∠OBP=∠ODP=90°及点ODPB共圆可求∠P
【解析】
∵AC是⊙O的直径，B是⊙O上一点
∴∠ABC=90°
∵∠ABC的平分线与⊙O相交于D，BC=1，AB=
∴∠C=60°，∠BAC=30°，∠ABD=∠CBD=45°
由圆周角定理可知∠C=∠ADB=60°
△ABD中，由正弦定理可得即=∵∠BAD=30°+45°=75°
∴∠BOD=2∠BAD=150°
设所作的两切线交于点P，连接OB，OD，则可得OB⊥PB，OD⊥PD
即∠OBP=∠ODP=90°
∴点ODPB共圆
∴∠P+∠BOD=180°
∴∠P=30°
故答案为：