Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+m与椭圆C：+=1相交于A、B两点，且OA+OB＞AB．
（1）求m的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆经过O点，求直线l的方程．

Answer

（1）联立，直线 l椭圆C有两个交点，由△＞0即可求得m的范围，但要注意OA+OB＞AB的应用，去掉不符合题意的m的值；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）得x1+x2=-，x1•x2=，由以AB为直径的圆经过O点得∠AOB=90°，从而由=0可求得m的值，于是可得直线l的方程．
【解析】
（1）由方程组得：5x2+8mx+（4m2-16）=0，…（2分）
因为直线 l椭圆C有两个交点，所以△=（8m）2-4×5×（4m2-16）＞0…（4分），
解得-＜m＜…（5分），
又因为OA+OB＞AB，所以O∉l，m≠0，所以m的取值范围是（-，0）∪（0，）…（6分）．
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）得x1+x2=-，x1•x2=，
以AB为直径的圆经过点，所以∠AOB=90°…（8分），
=x1•x2+y1•y2=0…（9分），
由y1=x1+m，y2=x2+m，…（10分），
得=x1•x2+y1•y2=2x1•x2+m（x1+x2）+m2
=-+m2=0…（12分），
解得m=±…（13分），所以直线l的方程是：
y=x+或y=x-…（14分）．