Question

已知向量，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足，其中O是坐标原点，k是参数．
（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
（2）当时，求的最大值和最小值；
（3）如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足，求实数k的取值范围．

Answer

（1）先设出M的坐标并求出A（2，0），B（2，1），C（0，1），把各点的坐标以及动点M到定直线y=1的距离等于d代入，整理即可求出动点M的轨迹方程为（1-k）（x2-2x）+y2=0，再分情况得出曲线类型；
（2）先利用（1）的结论得出：0≤x≤2，y2=，再把整理为，利用二次函数在闭区间上的最值求即可求出的最大值和最小值；
（3）先由离心率e满足，得圆锥曲线是椭圆，且方程可化为．再利用离心率e和系数的关系分情况分别求出对应的实数k的取值范围即可．
【解析】
（1）设M（x，y），由题设可得A（2，0），B（2，1），C（0，1）
∴，，
因
∴（x，y）•（x-2，y）=
k[（x，y-1）•（x-2，y-1）-|y-1|2]
即（1-k）（x2-2x）+y2=0为所求轨迹方程．
当k=1时，y=0，动点M的轨迹是一条直线；
当k=0时，x2-2x+y2=0，动点M的轨迹是圆；
当k≠1时，方程可化为，当k＞1时，动点M的轨迹是双曲线；
当0＜k＜1或k＜0时，动点M的轨迹是椭圆．
（2）当时，M的轨迹方程为，．得：0≤x≤2，y2=．
∵
=
=．
∴当时，取最小值
当x=0时，取最大值16．
因此，的最小值是，最大值是4．
（3）由于，即e＜1，此时圆锥曲线是椭圆，其方程可化为，
①当0＜k＜1时，a2=1，b2=1-k，c2=1-（1-k）=k，，∵，∴；
②当k＜0时，a2=1-k，b2=1，c2=（1-k）-1=-k，，∵，∴，而k＜0得，．
综上，k的取值范围是．