Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1，n∈N．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ），设数列{b_n}的前n项和为T_n，n∈N^*，试判断T_n与2的关系，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）由a1=1，Sn+1=2Sn+n+1，知Sn+1+（n+1）+2=2（Sn+n+2），所以Sn=2n+1-n-2．由此能求出an．
（Ⅱ）由an=2n-1，知==，所以，由错位相减法得到，由此能够证明Tn＜2．
【解析】
（Ⅰ）∵a1=1，Sn+1=2Sn+n+1，
∴Sn+1+（n+1）+2=2（Sn+n+2），
并且S1+1+2=1+1+2=4，数列{Sn+n+1}组成一个以4为首项，2为公比的等比数列，
∴Sn+n+1=4×2n-1=2n+1，
Sn=2n+1-n-2．
∴a1=S1=22-1-2=1，
an=Sn-Sn-1
=（2n+1-n-2）-（2n-n-1）=2n-1，
当n=1时，2n-1=1=a1，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）∵an=2n-1，
∴==，
∴，①
，②
①-②，得-
=
=1--，
∴
∴Tn＜2．