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数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+1=2Sn+n+1,n∈N. (...

数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+1=2Sn+n+1,n∈N.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)manfen5.com 满分网,设数列{bn}的前n项和为Tn,n∈N*,试判断Tn与2的关系,并说明理由.
(Ⅰ)由a1=1,Sn+1=2Sn+n+1,知Sn+1+(n+1)+2=2(Sn+n+2),所以Sn=2n+1-n-2.由此能求出an. (Ⅱ)由an=2n-1,知==,所以,由错位相减法得到,由此能够证明Tn<2. 【解析】 (Ⅰ)∵a1=1,Sn+1=2Sn+n+1, ∴Sn+1+(n+1)+2=2(Sn+n+2), 并且S1+1+2=1+1+2=4,数列{Sn+n+1}组成一个以4为首项,2为公比的等比数列, ∴Sn+n+1=4×2n-1=2n+1, Sn=2n+1-n-2. ∴a1=S1=22-1-2=1, an=Sn-Sn-1 =(2n+1-n-2)-(2n-n-1)=2n-1, 当n=1时,2n-1=1=a1, ∴an=2n-1. (Ⅱ)∵an=2n-1, ∴==, ∴,① ,② ①-②,得- = =1--, ∴ ∴Tn<2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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