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如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=1. (I)...

如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=1.
(I)求证:A1C∥平面AB1D;
(II)求二面角B-AB1-D的大小;
(III)求点c到平面AB1D的距离.

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法一(I)连接A1B,设A1B∩AB1=E,连接DE.由ABC-A1B1C1是正三棱柱,且AA1=AB,知四边形A1ABB1是正方形,由此能够证明A1C∥平面AB1D. (II)在面ABC内作DF⊥AB于点F,在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G,连接DG.因为平面A1ABB1⊥平面ABC,所以DF⊥平面A1ABB1,∠FGD是二面角B-AB1-D的平面角.由此能求出二面角B-AB1-D的大小. (III)因为平面B1BCC1⊥平面ABC,且AD⊥BC,所以AD⊥平面B1BCC1,又AD⊂平面AB1D,所以平面B1BCC1⊥平面AB1D.在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H,由此能求出点C到平面AB1D的距离. 解法二: (I)建立空间直角坐标系D-xyz,连接A1B,设A1B∩AB1=E,连接DE.设A1A=AB=1,则,,所以A1C∥DE.由此能够证明A1C∥平面AB1D. (II)由,知,设n1=(p,q,r)是平面AB1D的法向量,=(),同理,可求得平面AB1B的法向量是.由此能求出二面角B-AB1-D的大小. (III)平面AB1D的法向量为n1=(2,0,1),取其单位法向量.由此能求出点C到平面AB1D的距离. 解法一(I)证明: 连接A1B,设A1B∩AB1=E,连接DE. ∵ABC-A1B1C1是正三棱柱,且AA1=AB, ∴四边形A1ABB1是正方形, ∴E是A1B的中点, 又D是BC的中点, ∴DE∥A1C.…(3分) ∵DE⊂平面AB1D,A1C⊄平面AB1D, ∴A1C∥平面AB1D.…(4分) (II)【解析】 在面ABC内作DF⊥AB于点F, 在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G,连接DG. ∵平面A1ABB1⊥平面ABC,∴DF⊥平面A1ABB1, ∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影, ∵FG⊥AB1,∴DG⊥AB1 ∴∠FGD是二面角B-AB1-D的平面角 …(7分) 设A1A=AB=1,在正△ABC中,DF=. 在△ABE中,, 在Rt△DFG中,, 所以,二面角B-AB1-D的大小为.…(9分) (III)【解析】 ∵平面B1BCC1⊥平面ABC,且AD⊥BC, ∴AD⊥平面B1BCC1,又AD⊂平面AB1D, ∴平面B1BCC1⊥平面AB1D. 在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H, 则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离.…(12分) 由△CDH∽△B1DB,得. 即点C到平面AB1D的距离是.…(14分) 解法二: 建立空间直角坐标系D-xyz,如图 (I)证明: 连接A1B,设A1B∩AB1=E,连接DE. 设A1A=AB=1, 则.∴,∴, ∴A1C∥DE.…(3分) ∵DE⊂平面AB1D,A1C⊄平面AB1D, ∴A1C∥平面AB1D.…(4分) (II)【解析】 ∵, ∴, 设n1=(p,q,r)是平面AB1D的法向量, 则, 故; 同理,可求得平面AB1B的法向量是.…(7分) 设二面角B-AB1-D的大小为θ, ∵, ∴二面角B-AB1-D的大小为.…(9分) (III)解由(II)得平面AB1D的法向量为n1=(2,0,1), 取其单位法向量. ∴点C到平面AB1D的距离.…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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