Question

已知长方体AC₁中，棱AB=BC=3，棱BB₁=4，连接B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求证A₁C⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求平面A₁B₁C与平面BDE所成角的度数；
（4）求ED与平面A₁B₁C₁所成角的大小．

Answer

（1）要证A1C⊥平面EBD，只需证明A1C⊥BD（通过A1A⊥面ABCD来证得），A1C⊥BE（通过BE⊥面A1B1C来证得）即可
（2）由于AB∥平面A1B1C，将点A到平面A1B1C的距离转化成点B到平面A1B1C的距离．即为BF的长．
（3）由上可以证出平面A1B1C⊥平面BDE，故平面A1B1C与平面BDE所成角的度数为90°
（4）连接DF，A1D，EF⊥B1C，EF⊥A1C，EF⊥面A1B1C，所以∠EDF即为ED与平面A1B1C所成的角，在三角形EFD中求解即可．
【解析】
（1）连接AC，则AC⊥BD，又AC是A1C在平面ABCD内的射影
∴A1C⊥BD；
又∵A1B1⊥面B1C1CB，且A1C在平面B1C1CB内的射影B1C⊥BE，
∴A1C⊥BE，又∵BD∩BE=B
∴A1C⊥面EBD…（3分）
（2）∵AB∥平面A1B1C，点B到平面A1B1C的距离等于点A到平面A1B1C的距离
∵⇒BF⊥平面A1B1C，BF的长即为所求距离．
∴所求距离即为BF===  …（6分）
（3）由（2）∵BF⊥平面A1B1C，，而BF在平面BDE上，
∴平面A1B1C⊥平面BDE，故平面A1B1C与平面BDE所成角的度数为90°．
 …（9分）
（4）连接DF，A1D，∵EF⊥B1C，EF⊥A1C，
∴EF⊥面A1B1C，
∴∠EDF即为ED与平面A1B1C所成的角  （6分）  
由条件AB=BC=3，BB1=4，
可知B1C=5，，，，•BF=，•
∴
∴．
∴ED与平面A1B1C所成角为arcsin…（12分）