Question

已知数列{a_n}是由正数组成的等差数列，S_n是其前n项的和，并且a₃=5，a₄S₂=28．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：不等式对一切n∈N均成立．

Answer

（1）设出等差数列的等差为d，根据等差数列的性质，利用a3=5，a4•S2=28求出d及表示出数列{an}的通项公式；
（2）只需证明成立，下面利用数学归纳法证明．当n=1时，代入不等式左右端，验算可得证．再证明从k到k+1时，利用分析法思想向要证明的代数式转化即可证明n=k+1时也成立，从而结论得证．
【解析】
（I）设数列{an}的公差为d，由已知得…（2分）
∴（5+d）（10-3d）=28，
∴3d2+5d-22=0，
解之得d=2或．
∵数列{an}各项均正，∴d=2，∴a1=1．
∴an=2n-1．…（5分）
证明：（Ⅱ）∵n∈N，
∴只需证明成立．…（7分）
（i）当n=1时，左=2，右=2，∴不等式成立．…（8分）
（ii）假设当n=k时不等式成立，即．
那么当n=k+1时，…（10分）
以下只需证明．
即只需证明．…（11分）
∵．
∴=．
综合（i）（ii）知，不等式对于n∈N都成立．…（12分）