Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥面BDC₁；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁-BD-C的余弦值；
（3）若在线段AB₁上存在点P，使得CP⊥面BDC₁，试求AA₁的长及点P的位置．

Answer

（1）连接B1C，交BC1于点O，由三角形中位线定理，可得OD∥B1A，结合线面平行的判定定理可得AB1∥面BDC1；
（2）以C为坐标原点，CC1，CA，CB方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，求出平面C1DB的法向量和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角C1-BD-C的余弦值；
（3）设设，求出CP的方向向量和平面BDC1的法向量，根据CP⊥面BDC1，构造关于a，λ的方程组，解方程组，求出a，λ的值，即可得到AA1的长及点P的位置．
证明：（1）连接B1C，交BC1于点O，
则O为B1C的中点，∵D为AC中点，∴OD∥B1A，又B1A⊄平面BDC1，OD⊆平面BDC1
∴B1A∥BDC1    （3分）
【解析】
（2）∵AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1，∴CC1⊥面ABC，
则BC⊥平面AC1，CC1⊥AC
如图建系，则C1（3，0，0），B（0，0，2），D（0，1，0），C（0，0，0）
∴
设平面C1DB的法向量为n=（x，y，z）则n=（2，6，3）
又平面BDC的法向量为∴二面角C1-BD-C的余弦值：
（8分）
（3）设，
∴
又面BDC1，
∴解得
所以AA1=2，点P位置是在线段AB1上且．（12分）