Question

设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，则实数λ₁+λ₂=（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-c）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2-2a2ck2x+a2c2k2-a2b2=0．然后利用向量关系及根与系数的关系，可求得λ1+λ2的值．
【解析】
设M，N，P点的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），P（0，y），
又不妨设F点的坐标为（c，0）．
显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是y=k（x-c）．
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2-2a2ck2x+a2c2k2-a2b2=0．
∴，．
又∵，
将各点坐标代入得 ，
=．
故选C．