Question

设x₁，x₂是+x（a，b∈R，a＞0）的两个极值点，f′（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）如果x₁＜2＜x₂＜4，求f′（-2）的取值范围；
（Ⅱ）如果0＜x₁＜2，x₂-x₁=2，求证：；
（Ⅲ）如果a≥2，且x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）时，函数g（x）=-f′（x）+2（x₂-x）的最大值为h（a），求h（a）的最小值．

Answer

（Ⅰ）利用导数与函数极值的关系列出关于a，b的不等式组是解决本题的关键，利用整体思想确定出f′（-2）的取值范围；
（Ⅱ）建立b与x1，x2的关系是解决本题的关键．根据所得的函数表达式利用函数的单调性求出b的取值范围；
（Ⅲ）写出函数g（x）的表达式是解决本题的关键，根据基本不等式求出函数的最大值h（a），利用导数求该函数的最小值．
【解析】
（Ⅰ）对f（x）求导得f'（x）=ax2+（b-1）x+1，由题意x1，x2是方程f'（x）=0的两根．
由x1＜2＜x2＜4，且a＞0得即
f'（-2）=4a-2（b-1）+1=4a-2b+3，由（1）（2）所表示的平面区域可求得4a-2b＞0，
故f'（-2）=4a-2b+3＞3．
所以f'（-2）的取值范围是（3，+∞）．
（Ⅱ）方程ax2+（b-1）x+1=0的两根为x1，x2，由根与系数的关系得
由于x1x2≠0，两式相除得-（b-1）=，即b=-+1．
由条件x2=x1+2可得b=ϕ（x1）=-+1，易知当x1∈（0，2）时，φ（x）是增函数，
当x1∈（0，2）时，ϕ（x1）＜ϕ（2）=，
故b的取值范围是．得证．
（Ⅲ）因为f'（x）=0的两根是x1，x2，
故可设f'（x）=a（x-x1）（x-x2），
所以g（x）=-f'（x）+2（x2-x）=-a（x-x1）（x-x2）+2（x2-x）=a（x2-x）．
由于x∈（x1，x2），
因此x2-x＞0，x-x1＞0，
又a≥2，可知x-x1+＞0，
故+2，
当且仅当x2-x=x-x1+
即x=x1+1-时取等号．
所以h（a）=a++2，a∈[2，+∞），
当a∈（2，+∞）时，h'（a）=1-＞0，h（a）在（2，+∞）内是增函数，
又h（a）在[2，+∞）上连续，
故h（a）在[2，+∞）上是增函数．
所以h（a）min=h（2）=．